現在色々修正中です。

WordPressにはYouTubeなどのURLを張り付けるだけで自動で埋め込んでくれるoEmbedという機能がありますが、それが上手く働かなくなる場合があるようです。
その際にfunctions.phpにフィルターを追加したり、足りないソースコードをheader内に追加したりする方法もあるようですが、恐らく現在使用しているテーマの関係で上手く行きませんでした。
（他のテーマだとoEmbedが機能するので）

そこで、もしかしたらプラグインで何とかなるんじゃないかと思って探してみたところ、YouTube（作成者: EmbedPlus Team）というプラグインで無事解決。
インストールして有効化するだけでoEmbedが機能するようになりました。
全ての環境で上手く行くかは分からないのですが、ご参考までに。
埋め込み動画のカスタマイズも色々と出来るようなので、そういうのがやりたい人にも良いんじゃないかと思います。

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